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MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS, OU VOCÊ SABE COMO FUNCIONA OU VOCÊ SERÁ SEMPRE UM N.N.F

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Na última década uma enorme quantidade de softwares tem auxiliado cada vez mais projetistas e engenheiros a solucionar os mais complexos problemas e neste aspecto os softwares que utilizam o Método dos Elementos Finitos tem um destaque especial. 

A aplicação deste método na engenharia consiste em discretizar o contínuo, que por sua vez se resume em dividir uma geometria complexa em muitas outras geometrias menores de menor complexidade.

E estas pequenas geometrias somadas representarão uma forma aproximada da geometria original.

O termo Método por Elementos Finitos foi utilizado pela primeira vez por Richard Courant em 1943, mas antes de detalhar este trabalho de Courant temos de voltar ainda mais no tempo.

Continue lendo pois ao longo deste artigo vou dizer o que acontece por trás de quando você opera um software de simulação por elementos finitos.

A HISTÓRIA DO MÉTODOS DOS ELEMENTOS FINITOS

Falar sobre a História do Método dos Elementos Finitos é preciso primeiramente entender que se trata de um recurso matemático e que utiliza aproximação para chegar a um resultado. 

O conceito matemático será tratado mais adiante neste artigo, por hora basta ter em mente de que o resultado não é exato

Isso mesmo, o resultado do Método dos Elementos Finitos é uma aproximação.

Calma que vou explicar melhor, mas antes quero abrir um parêntese.

“ Não sei você, mas eu admiro muito as civilizações antigas. Quando olho para trás e estudo o que os caras fizeram eu me sinto pequeno, me sinto ignorante. Precisava falar isso antes de continuar, pois sempre fico impressionado quando falo da História dos Elementos Finitos ”

Mas voltemos a nossa jornada…

A história do Método dos Elementos Finitos tem início na mesopotâmia antiga, com os egípcios e aproximadamente 2.000 anos antes de Cristo.

Neste período a matemática já era avançada e os eles já possuem recursos como cálculo de perímetro e área de algumas formas geométricas, porém não do círculo.

Quadrados, retângulos, triângulos e muitas outras geometrias eram facilmente calculadas por matemáticos da época e isso apenas utilizando as linhas retas de suas extremidades.

Como, por exemplo, somando o comprimento de cada lado de um quadrado resultava em seu perímetro.

E é aí que estava o grande problema…

É que círculos não possuem lado e assim não era possível de serem calculados.

E para piorar os faraós queriam saber quanto de material seria utilizado nas construções, e a mer** (para nossa sorte), é que muitas das construções possuíam formas circulares.

Ou seja, os caras tiveram que resolver este problema na marra

Mas! eles eram observadores e dos bons e acabaram resolvendo de uma forma simples e brilhante.

Agora acompanha comigo… Essa é parte mais importante

Eles notaram que, apesar de não conseguir calcular o perímetro do círculo, eles podiam descobrir este valor utilizando uma corda.

Isso mesmo meu camarada! 

A corda era inserida sobre o círculo e depois de estica-la, era só medir o seu comprimento 😊.

Os matemáticos tiveram a ideia de inserir uma geometria conhecida dentro da circunferência, por exemplo, um quadrado, e posteriormente calcular a sua geometria e comparar com o comprimento da corda gerada pela circunferência.

E ao compararem os valores foi possível notar que apesar do perímetro do quadrado ser menor, os valores estavam próximos.

A partir dai o próximo passo foi acrescentar outras geometrias com uma quantidade maior de lados, como na figura abaixo.

Desta forma foi possível ter uma boa aproximação do valor do perímetro do círculo real.

E Tomando por base uma circunferência de diâmetro unitário, os Egípcios chegaram ao valor de 3 para Pi, mesmo que até então ele não era chamado assim.

Alguns estudiosos afirmam que por volta de 1600 A.C. os Egípcios já utilizavam o Pi com um valor de 3,12, uma precisão já muito próxima a atualmente utilizada.

Avançando na história, Arquimedes no ano de 240 antes de Cristo, utilizando um hexágono de 96 lados inscritos e circunscritos em um círculo unitário chegou a conclusão de que o valor de Pi estava entre 3,1408 e 3,1428.

Valores muito precisos, mas nada comparado ao recorde mundial de 8 quatrilhões de dígitos batidos por uma equipe da Universidade de Santa Clara nos Estados Unidos que utilizaram GPUs Nvidia para este feito. ]

Agora, voltando la atrás… entendeu porque o valor não é exato?

Perceba que mesmo com toda esta precisão nas casas decimais o valor de Pi ainda é uma aproximação.

Assim como no Método dos Elementos Finitos, a grande questão fica no fato de quão preciso os resultados devem ser.

Mas agora você pode estar se perguntando:

O que de fato o Pi tem a ver com Método dos Elementos Finitos?

É neste ponto que a descoberta do número Pi se entrelaça com o Método dos elementos Finitos pois, quanto maior for o número de arestas utilizadas no hexágono para achar o número Pi maior será a precisão do resultado.

E da mesma forma que aumentar o número de elementos para discretizar uma geometria para gerar a malha, maior será a precisão dos resultados finais.

Massss ainda será uma aproximação!!! 😊

Caso fossem utilizados infinitos elementos para representar uma geometria nós estaríamos na verdade retornando a física regida pela mecânica do contínuo. < Lindo isso!!! 

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A EVOLUÇÃO, DEFINIÇÃO DA NOMENCLATURA E CRIAÇÃO DOS PRIMEIROS SOFTWARES COMERCIAIS UTILIZANDO CÁLCULO PELO MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS 

Continuando nossa história, Walter Ritz, matemático Suiço, em 1909 foi o primeiro a utilizar o Método dos Elementos Finitos (que ainda não possui esta nomenclatura).

Mas sabe-se que Ritz utilizou este método para determinar a solução aproximada de problemas em mecânica dos sólidos, onde o funcional energia era aproximado por funções conhecidas com coeficientes a serem determinados.

Anos mais tarde foi a vez Richard Courant ampliar consideravelmente o trabalho iniciado por Walter Ritz. 

E ele foi o primeiro a utilizar a denominação de Método dos Elementos Finitos.

Ele também descreveu em 1943 a forma computacional de resolução utilizando o método. Este trabalho foi o percursor de todos os programas utilizando MEF que temos hoje.

Chegando no início da década de 50, o professor Ray William Clough que lecionava Engenharia Estrutural na Universidade de Berkeley nos Estados Unidos juntamente com um grupo de pesquisadores da Boeing revolucionou o uso do MEF, saindo do campo de pesquisa e dando aplicação prática ao método.

Clough desenvolveu um programa de computador capaz de calcular a estrutura de aeronaves utilizando o Método dos Elementos Finitos.

A Universidade de Berkeley serviu de berço para a popularização do MEF, justamente quando os computadores começaram a fazer parte das universidades.

Os trabalhos desenvolvidos nos anos seguintes foram os responsáveis por dar sentido ao método que até então não tinha aplicação prática.

Em 1964 a Agência Espacial Americana (NASA), durante revisão anual do programa de pesquisa de dinâmica estrutural, identificou que os recentes desenvolvimentos em softwares de cálculo estrutural estavam focados somente em necessidades especificas e não genéricas que poderiam ser estendidas para qualquer estrutura.

Foi dessa forma que a NASA, em parceria com a empresa MacNeal-Schwendler Corporation, fundada pelo Dr. Richard H. MacNeal e Robert Schwendler, desenvolveu um software chamado GPSA (acrônimo de General Purpose Structural Analysis ou Analise Estrutural para Propósito Geral), e anos mais tarde este software foi rebatizado de NASTRAN (acrônimo para NASA STRucture ANalysis).

Ao fim do projeto com a NASA a empresa MacNeal-Schwendler desenvolveu o primeiro software comercial que utilizava o Método de Elementos Finitos, este software foi batizado de MSC Nastran.

Muitos outros softwares foram desenvolvidos utilizando o Nastran, porém até hoje o MSC Nastran é o mais popular deles e considerado por muitos o melhor software de simulação estrutural, largamente utilizado em desenvolvimento de aviões e carros.

 

 

Outro grande feito que marca o início dos softwares comerciais de Elementos Finitos foi o trabalho realizado por John Swanson.

Durante o projeto NERVA nos Estados Unidos que utilizava reação nuclear em foguetes. Swanson desenvolveu um software de computar utilizando MEF com esta finalidade.

Swanson é formado em Engenharia Mecânica pela Universidade de Cornell.

E ao fim dos trabalhos para o governo ele fundou uma empresa chamada Ansys que assim como a MSC se tornou uma gigante do ramo.

A Ansys hoje possui software de simulação computacional para as mais variadas aplicações, incluindo dinâmica dos fluidos, eletromagnetismo e cálculo estrutural.

O grande destaque da Ansys são os seus constantes desenvolvimentos e melhorias que facilitam o uso do software como os recém lançados Ansys AIM e Discovery Live.

Após a popularização dos computadores ao fim da década de 60, os softwares de Elementos Finitos se espalharam nas mais variadas aplicações.

Juntamente inúmeras empresas surgiram, baseadas nos trabalhos dos percursores dos estados anteriores.

Alguns softwares livres (Open Source) foram desenvolvidos e distribuídos. Muitos deles são utilizados hoje dia não só por estudantes, mas também por grandes corporações que buscam soluções especificas uma vez que os softwares livres permitem a reedição do código.

De lá pra cá foi uma verdadeira explosão de diferentes softwares baseados no Método dos Elementos Finitos.

A MATEMÁTICA POR TRÁS DO MÉTODO 

 

“Utilizar um software de elementos finitos sem conhecer a teoria é como utilizar uma calculadora e não saber o que é uma multiplicação, você sabe qual botão apertar, mas não sabe para que serve” – Fabrício Leinat

 

Nesta parte do artigo iremos tratar os conceitos idealizados para realizar um cálculo utilizando o Método dos Elementos Finitos.

É obvio que este assunto é extremamente abrangente e não será possível tratar com profundidade todos os recursos matemáticos executados em um software de simulação.

Nós aqui trataremos do mínimo necessário para que possamos entender como o programa “pensa”.

Mas caso você queira estudar com profundidade os conceitos matemáticos por trás do Método por elementos Finitos eu recomendo fortemente o livro Elementos Finitos A Base da Tecnologia CAE do Professor Avelino

Entendendo Como o Programa “pensa” para você entender o que você esta fazendo

Quando estudamos as tensões em um eixo gerada por forças tensoras, torções e flexões estamos na verdade utilizando a mecânica do contínuo.

Este recurso baseia-se do fato que estamos trabalhando com geometrias conhecidas onde não é necessário o uso de integração.

Contudo, quando trabalhamos com geometrias complexas, a estrutura de um avião por exemplo, não é possível calcular os esforços utilizando os métodos convencionais ou caso seja possível, será necessário um grande conhecimento matemático, além do tempo gasto e a dependência de um profissional extremamente qualificado que conheça com profundidade cálculo e mecânica.

Dessa forma o Software de Elementos Finitos “quebra” o modelo de geometria complexa em inúmeras geometrias menores com forma conhecida, como um hexaedro ou tetraedro (esses são os dois modelos de elementos sólidos mais utilizados para simulações estruturais).

O modelo matemático fica encarregado de resolver cada um desses elementos individualmente no primeiro momento e em seguida “une” todos eles para que assim seja possível obter o resultado.

A principal base para determinação da influência dos carregamentos é a determinação da matriz rigidez do componente.

Obtendo a rigidez do componente e conhecendo as propriedades físicas do material empregado, podemos determinar facilmente os deslocamentos e tensões geradas fazendo uso da Lei de Hooke.

Robert Hooke, cientista experimental inglês do século XVII, apesar de não ter menção direta aos estudos do Método dos Elementos Finitos (e por isso não foi mencionando na “História do Método dos Elementos Finitos”), possui papel crucial neste trabalho.

Hooke descobriu que a relação entre a força aplicada a uma mola é diretamente proporcional ao seu deslocamento, ou seja, para uma mola onde o deslocamento é de 1mm ao ser aplicado uma carga de 1 N a sua constante elástica é de 1mm/N e esta constante elástica recebeu o nome de Lei de Hooke.

Voltando ao MEF, a constante elástica aplicada a mecânica do contínuo, Hooke determinou que a tensão gerada por um carregamento é igual ao seu módulo de elasticidade multiplicado pelo deslocamento gerado.

De uma forma simplificada podemos dizer que

Ao se analisar um elemento da malha, primeiro identificamos qual o deslocamento unitário gerado pelo carregamento, o módulo de elasticidade será um valor conhecido, determinado pelo material que escolhemos. Multiplicando um pelo outro teremos a tensão gerada no elemento.

Esta é a forma mais simplificada possível que posso mostrar de como o método funciona matematicamente.

E como mencionei anteriormente não entrarei em profundidade neste ponto, mas caso tenha alguma dúvida deixe o seu comentário ao fim deste artigo

As suas dúvidas e sugestões serão respondidas da melhor forma possível.

Um ponto crucial no entendimento de elementos finitos é perceber que a relação entre módulo de elasticidade e deslocamento variam de forma linear, ou seja, se dobrarmos o deslocamento e o módulo de elasticidade for mantido a tensão resultante será dobrada. Se utilizarmos um material com 30% menos elasticidade a tensão resultante será igualmente menor.

Esta linearidade não é por menos e possui uma área específica nas simulações por elementos finitos, esta área é denominada Análise Linear.

A análise linear só é válida enquanto a deformação estiver dentro do campo da região elástica do material, ao entrarmos na região plástica o material não se comportará de forma linear quanto ao seu deslocamento e a utilização de análise linear não será válida pois apresentará valores de tensão muito superiores ao real. Este erro é muito comum entre profissionais iniciantes.

Simulações que estão dentro da zona plástica do material são denominadas análises não lineares e são empregadas onde se deseja analisar o comportamento permanente do componente como, por exemplo, dobra, repuxo, colisão de um veículo, etc.

A análise não linear, basicamente, realiza inúmeras análises lineares sequenciais, onde o módulo de elasticidade é alterado a cada deslocamento gerado, seguindo as características do material conforme o seu gráfico de tensão/deformação.

SIMULAÇÃO POR ELEMENTOS FINITOS NA PRÁTICA 

Todo engenheiro tem por obrigação conhecer a teoria por trás daquilo que está trabalhando, não estou aqui dizendo que você deva ser um especialista em tudo o que faz, mas tratando-se de Simulação utilizando Elementos Finitos já vi inúmeras vezes profissionais chegar ao fim de uma simulação, com uma peça colorida e não saber o que fazer com aquele resultado.

Antes de abrir qualquer programa de simulação estrutural pergunte-se:

  • Eu sei o que é tensão de ruptura?
  • Eu sei o que é tensão de escoamento?
  • Eu sei o que é módulo de elasticidade?
  • Eu sei o que é coeficiente de Poisson?
  • Eu sei o que são tensão principal e cisalhante?
  • Eu sei a diferença entre os critérios de Tresca e von Misses?

Se para qualquer uma das perguntas acima a resposta for “NÃO” isso significa que o software de elementos finitos não irá te ajudar, ou pior, poderá dar a falsa impressão de que a teoria não é importante.

Então pare agora e revise todos os conceitos teóricos da resistência dos materiais.

Existem inúmeros outros conhecimentos necessários para resolver a física por trás do método dos elementos finitos e isso caberá a você identificar a sua área de atuação.

Outro grande erro comum é a não escolha correta das tensões admissíveis, muitos apenas adotam a tensão de escoamento do material imaginando que trabalhar abaixo deste valor garantirá o correto funcionamento do componente.

Critérios como deslocamento máximo também deve ser levado em consideração, certas estruturas podem desalinhar ou emperrar por conta dos esforços sofridos, mesmo quando estamos lidando dentro dos limites de escoamento.

Se a estrutura sofrer carregamento cíclico o cálculo de vida útil (ou fadiga) deve ser levado em consideração, uma vez que as falhas por fadiga ocorrem abaixo da tensão de escoamento.

Componentes esbeltos requerem uma atenção especial, a instabilidade elástica é muitas vezes negligenciada podendo causar o colapso de estruturas.

A malha gerada nem sempre é a correta na primeira tentativa, realize sempre um estudo de convergência além de controlar os critérios de qualidade da malha. Cada software dá um nome específico para cada critério disponível, porém deverá ser no mínimo verificado as distorções dos elementos, ângulo dos elementos e elementos de tamanho diferente um ao lado do outro.

Cada software existente possui recursos automatizados para a obtenção da convergência, além de fazer uso de cálculos matemáticos para aumentar a precisão sem que aja a necessidade de utilizar infinitos elementos para um resultado satisfatório, principalmente quando utilizando módulos de análise não linear.

Seguindo esses critérios garantirá que a sua análise terá o mínimo de erro possível.

Afinal Elementos Finitos é uma aproximação!

Espero que tenha gostado deste artigo e principalmente que tenha sido útil. Aproveito para convidá-lo a se inscrever abaixo para ser notificado sempre que postarmos algo novo

 

Ps: Já ia me esquecendo de dizer o que é N.N.F (Next, Next, Finish 🙂 🙂 )

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  • Ricardo Salviano

    Muito bom

  • Igor Alarcón Ayala

    O senhor poderia falar sobre os pontos de integração no MEF por favor

    • Olá Igor, excelente pergunta. Irei tratar desse assunto no nosso próximo post sobre método dos Elementos Finitos.

  • Denise Perozin

    Olá, tenho um aluno que fará o TCC falando sobre o método. Você saberia me dizer onde poderia encontrar uma empresa, instituição ou qualquer interessado que pudesse dar um apoio a ele com a simulação em um software, inclusive emprestando o software para que ele pudesse dar sequência ao seu projeto?

    • Elá Denise! Tudo bem???
      Algumas empresas disponibizam licenças estudantis de seus softwares com preços bem reduzidos, ou em alguns casos a licença sai de graça para professores e estudantes. Há softwares gratuitos, que são muito bons mas porém muito difíceis de se trabalhar, então não os recomendo para quem está começando. Na próxima semana vai ao ar um vídeo nosso explicando como adquirir uma licença gratuita para estudar com um dos melhores softwares de simulação do mercado. Porém este vídeo não estará disponível aqui no blog, ele faz parte do conteúdo exclusivo para quem é dacastrado (que também é gratuito). Fale para o seu aluno se cadastrar aqui no blog que receberá o vídeo com o passo-a-passo!

  • Daniel

    Muito bom, tenho praticado bastante, sou iniciante, tive dúvidas na última pergunta: “Eu sei a diferença entre os critérios de Tresca e von Misses?”… vou atrás das respostas. Postei inclusive um exercício resolvido no linkedin esses dias: https://www.linkedin.com/feed/update/urn:li:linkedInArticle:6400764958216372224/

    Dá uma conferida lá e parabéns pelo texto. Muito bom!

    • Olá Daniel! Obrigado pelo comentário. O link que você passou está dando erro, te toda forma fico feliz que o texto tenha sido útil e que tenha incentivado você a estudar e a criar o seu conteúdo. Abraço!

  • Ricardo Nogueira

    Tem esse artigo em pdf para que eu possa cita-lo?

    • Olá Ricardo, esse artigo infelizmente não temos disponível para download, mas em citações em geral é aceitável indicar sites. Abraço

  • Pedro Sebastião Pereira Amaro

    Você tem aluma referência de onde encontro constantes dielétricas de materias que não se encontram na biblioteca do femm? preciso urgente delas, tipo alumínio, cimento, ferro…

    • Olá Pedro! Se estiver buscando para materiais “genéricos” para trabalhos acadêmicos com por exemplo Aluminio, Ferro, Aço, etc. o melhor é buscar em livros de física do ensino médio. Mas se precisa para ligas específicas você pode buscar no site matweb.com, é gratuito e por isso não é tão completo, outro site é o totalmateria.com, este é um banco de materiais pagos, porém eles liberam 30 dias grátis e 5 acessos para testar.